Derivat sinusom kota je enak kosinusa istim kotom

Dana lahkoto trigonometrija Funkcija y = sin (x), je odvedljiva v vsaki točki celotno domeno. Moramo dokazati, da derivat sinusom je vsakemu argumentu enak kosinusa istim kotom, torej '= cos (x).

Dokaz temelji na definiciji funkcije derivata

Definiramo x (samovoljno) v neki majhni okolici določeni točki x Δh _0. Mi bo pokazal vrednost funkcije v njej, in na mestu x, da bi našli prirastek dane funkcije. Če Δh - prirastek argumenta, potem nov argument - je x ₀ + Δx = x, vrednost te funkcije za dano vrednost argumenta y (x), je enaka sin (x ₀ + Δx), vrednosti funkcije v določeni točki (x ₀₎ je prav tako znana .

Zdaj imamo Δu = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - pridobljene funkcije prirastka.

Po formuli sinusni vsota dveh neenakih kotov bomo pretvorili razliko Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · cos (Δh) + cos (x ₀₎ · sin (Δx) minus sin (x ₀₎ = (cos (Δx) -1 ) · sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · sin (Δh).

Opravljeni permutacija pogoji združene prve do tretje Sin (x _0), vzeti iz skupne faktor - sine - oklepajih. Pridobili smo v ekspresijskem Cos razliki (Δh) s -1. To je prepuščeno spremeniti predznak pred oklepaju in oklepaju. Vemo, kaj je 1-Cos (Δh), naredimo spremembe in pridobiti poenostavljen izraz Δu, ki se nato deli s Δh.
Δu / Δh imajo obliko: cos (x ₀₎ · sin (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0,5 x Δh) · sin (x ₀₎ / Δh. To je razmerje med prirastka funkcije za vstop v prirastka argumenta.

To je še vedno, da bi našli mejo razmerja dobljenih z nami v lim Δh, ki se nagiba k nič.

Znano je, da / Δx je meja sin (Δh) enako 1, pod pogojem. In izraz 2 · Sin ² (0,5 x Δh) / Δh pri nastalih vsota posameznih transformacij proizvod, ki vsebuje kot prvo multiplikacijskega izredno omejitve: števcu frakcije in znemenatel delimo s 2, kvadrat sinusom in namesto proizvoda. Tukaj je, kako:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · sin (Δx / 2).
Meja tega izraza, ko Δh nagiba k nič, bo enako številu nič (0 pomnoženo z 1). Izkaže se, da je meja razmerja Δy / Δh cos (x ₀₎ · 1-0, to je cos (x _0), izraz, ki je odvisen od Δh težijo k 0. zaključku: derivat s sinusom katerega koli kota enaka x kosinus x, lahko zapišemo kot: y '= cos (x).

Nastalo Formula je navedena v tabeli znanih derivatov, kjer so vse osnovne funkcije

Pri reševanju problemov, kjer se je srečal z derivat sine, lahko uporabite pravila diferenciacije in pripravljenih formul iz tabele. Na primer: našli derivat najpreprostejši funkcijo y = 3 · sin (x) -15. Uporabljamo osnovno pravila za odvajanje odstranitev numerični faktor za znak derivata in izračun derivat konstantno številko (ki je nič). Uporabi osnovni tabela vrednost derivata kota x enak cos (x). Prejmi odgovor: Y '= 3 · cos (x) = O. Ta derivat, po drugi strani je tudi elementarna funkcija Y = H · cos (x).

Je derivat sinusom kvadrat v nobeni argumenta

Pri izračunu izraza mora (Sin ² (x)) "Spomnim se, kako raznolik kompleksne funkcije. Torej, ² = sin (x) - je funkcija moči, kot osnovni kvadrat. Njegov argument je tudi trigonometrične funkcije, kompleksna argument. Posledica je v tem primeru enaka produktu iz prvega množilnika je kvadrat kompleksne derivata s trditvijo, in drugi - derivat s sinusom. Tu je pravilo za razlikovanje funkcijo funkcije: (u (v (x))) "je (u (v (x)))" · (v (x)) ". Ekspresija v (x) - kompleksna argument (interna funkcija). Če je podana funkcija "y enak sine kvadrat X", potem derivat s to sestavljeno funkcija je y '= 2 · sin (x) · cos (x). Produkt iz prvega množilnika podvojila - variantna eksponencialni funkciji, in cos (x) - derivat sinusni kompleks argument kvadratna funkcija. Končni rezultat se lahko spremeni z uporabo formule za trigonometrične sinus dvojnega kota. A: derivat Sin (2 · x). Ta formula je težko zapomniti, da se pogosto uporablja kot tabelo.