To se dotika kroga? Lastnosti tangento na krog. Skupna dotika dveh krogih

Secants, tangente - vse to stokrat je bilo moč slišati na pouk geometrije. Toda vprašanje šole zadaj, mimo leto, in vse to znanje pozabljeno. Kaj naj spomnim?

bistvo

Izraz "dotika kroga" znak, morda, vse. Vendar pa je malo verjetno, da se bo vse hitro oblikovati opredelitev. Medtem se imenuje tangens črto, ki leži v isti ravnini kot krog, ki ga seka v eni sami točki. Njihova Nešteto lahko obstajajo, ampak vsi imajo enake lastnosti, ki bodo obravnavane v nadaljevanju. Kot ste lahko uganiti, je stična točka iz kraja, kjer je krog in črta križajo. V vsakem primeru je eden, če obstaja več, potem bo transverzala.

Zgodovina odkritja in raziskave

Koncept tangenta pojavil v starih časih. Gradnja teh vrstic v prvem krogu, nato pa do elips, parabol in hiperbola z ravnilom in kompas potekala še v zgodnjih fazah razvoja geometrije. Seveda je zgodovina ni ohranil ime odkritelja, vendar je jasno, da tudi v tem času so se ljudje dobro znane lastnosti, ki se dotika kroga.

V sodobnem času je zanimanje za ta pojav je izbruhnila še enkrat - je začel nov krog študije tega koncepta v povezavi z odprtjem novih krivulj. Tako Galileo uvedel pojem Cikloida in Fermat in Descartes zgradili dotika z njim. Kot je za kroge, se zdi, je za starodavne skrivnosti levo na tem področju.

lastnosti

Radius opozoriti na stičišču bo pravokotno na linijo. ta Glavno, vendar ni edina lastnost, ki se dotika kroga. Druga pomembna značilnost že vključuje dve ravni. Torej, s pomočjo ene same točke, ki leži zunaj kroga, je mogoče sestaviti dveh tangent in njihove dolžine so enaki. Obstaja pa še ena izrek o tej temi, vendar se le redko potekala v okviru učnega predmeta, vendar je zelo koristno za reševanje nekaterih problemov. To gre takole. Iz ene točke, ki se nahajajo izven kroga, narisati tangento in Sijekući z njo. Oblikujejo segmenti AB, AC in AD. A - presečišče linij B točko dotika, C in D - prehod. V tem primeru je naslednja enačba velja: dolžina tangente na krog, kvadrat, enaka zmnožku segmentov AC in AD.

Iz navedenega izhaja, da je pomemben dodatek. Za vsako točko kroga, lahko gradijo tangento, ampak samo eno. Dokaz za to je zelo preprost: v teoriji navzdol je pravokotno od radija, smo ugotovili, da oblikuje trikotnik ne more obstajati. In to pomeni, da se dotika - edini.

stavba

Med drugimi nalogami v geometriji je posebna kategorija, kot pravilo, ne je ljubil z dijaki in študenti. Za rešitev naloge tej kategoriji je treba le kompas in ravnilo. To je naloga stavbe. Tam gradijo na tangento.

Torej, glede na krog in točko, ki leži izven njenih meja. In boste morali pluti skozi njih tangento. Kako si to naredil? Najprej morate porabiti interval med središčem kroga O in določeno točko. Nato s pomočjo kompasa bi ga morali razdeliti na pol. Če želite to narediti, morate nastaviti radij - malo več kot polovico razdalje med središčem kroga in začetne točke. Potem boste morali zgraditi dve križata loka. Polmer na spremembe ne bi smele biti kompas, in središče vsaki strani kroga bo prvotna točka, in O, v tem zaporedju. Mesta Arcs križišč je treba povezati, da je odrezani del na pol. Vprašajte na radiju kompasa enaki razdalji. Nadalje, s središčem na križišču zgraditi še en krog. To bo temeljila tako na prvotne točke, in O. V tem primeru, se bo dva križišča s tem problemom v krog. Da se bodo kontaktne točke za prvotno določeni točki.

zanimivo

To je gradnja, ki se dotika kroga pripeljala do rojstva Diferencialni račun. Prvo delo na tem področju je bil objavljen znameniti nemški matematik Leibniz. Je predvidena možnost iskanja maksimume, minimume in tangente, ne glede na to frakcijskih in nerazumnih količinah. No, sedaj se uporablja za mnoge druge izračune.

Poleg tega se dotika kroga povezani z geometrijsko tangentna smislu. Iz tega, in njegovo ime prihaja. Prevedeno iz latinskih tangens - "tangento". Tako je ta koncept ni le geometrija in razlika račun, vendar s trigonometrijo.

dva kroga

Ni vedno tangenta zatragivet samo ena slika. Če lahko preživijo veliko črt na en krog, potem zakaj ne obratno? Mogoče. To je samo problem je v tem primeru hudo zapletena, saj je tangenta dveh krogih ne more skozi kateri koli točki, in relativni položaj vseh teh številk lahko zelo drugačna.

Vrste in sorte

Ko gre za dva kroga in eno ali več vrstic, nato pa tudi če veste, da gre, ni takoj jasno, kako so vse te koščke razporejeni v odnosu drug do drugega. Na podlagi tega, obstaja več sort. Torej, lahko krog ima eno ali dve skupni točki, ali pa sploh nobene. V prvem primeru bodo prekrivajo, in drugi - na dotik. In tukaj sta dve vrsti. Če en krog, saj je bilo to vključeno v drugo, je dotik imenovano interno, če ne - potem je zunaj. Razumeti je relativni položaj kosov ne more temeljiti le na risbi, vendar imajo podatke o vsoti njihove radijih in razdalje med njunima središčema. Če sta ti dve vrednosti enaki, nato pa krogi na dotik. Če je prvi bolj - sekata in drugače - nimajo skupnih točk.

Tako je tudi z ravnimi linijami. Za vse dva kroga ob nobenih skupnih točk lahko
zgraditi štiri tangente. Dva izmed njih bo prekrivajo med številkami, se imenujejo notranji. Nekaj drugega - zunanji.

Če govorimo o krogih, ki imajo eno točko skupno, problem resno poenostavljena. Dejstvo je, da v nobeni medsebojni dogovor, v tem primeru se dotika bodo imeli le eno. In se bo skozi sečišča. Tako, da stavba ne bo povzročal težav.

Če so številke dve sečišča, potem jih lahko zgradili linijo dotika kroga, kot je bil, in drugi, vendar le zunaj. Rešitev tega problema je podoben temu, kar se razpravlja kasneje.

Soočanje z izzivi

Tako notranje in zunanje, ki se dotika dveh krogih v stavbi niso tako preproste, čeprav, in ta problem je rešen. Dejstvo, da je dodatni vzorec uporabimo za to, da ugotovili takšno metodo sam To je precej problematično. Torej, glede na to dva kroga z različnimi radiji in centri O1 in O2. Za njih je treba graditi dva para tangent.

Najprej okoli središča širšega kroga graditi podporno. Hkrati je na kompasu je treba določiti razliko med polmeri dveh originalnih številk. Iz centra manjši krog, ki se dotika pomožni zgrajena. Po tem od O1 in O2 sta potekala perependikulyary ti naravnost do križišča s prvotnih številk. Kot izhaja iz osnovnih lastnosti, ki se dotika, so zahtevane točke na voljo na obeh krogov. Problem je rešen, vsaj v prvem delu.

Da bi zgradili notranje tangente morali skoraj rešiti podoben problem. Spet moramo pomožno sliko, vendar je tokrat njegov polmer je enak vsoti originala. Za njo gradnjo tangento od centra enega izmed teh krogov. Nadaljnji potek odločbe je mogoče razbrati iz prejšnjega primera.

Tangenta na krog, ali celo dva ali več - ni tako težka naloga. Seveda, so matematiki dolgo ni več ročno reševanje podobnih problemov in zaupanje izračun posebne programe. Ampak ne mislim, da je zdaj ne bo nujno, lahko to storite sami, saj za pravilno oblikovanje naloge za računalnik storiti veliko in razumeti. Na žalost, obstaja bojazen, da bo po končni prehod v obliki testnega težav kontrolnih znanje o gradnji povzročajo učenci vse več težav.

Kot je za iskanje skupne tangente na več krogov, to ni vedno mogoče, tudi če ležijo v isti ravnini. Toda v nekaterih primerih je mogoče najti takšno linijo.

primeri o življenju

Skupna dotika dveh krogih je pogosto najdemo v praksi, čeprav to ni vedno jasna. Tekoči trakovi, modularni sistemi, jermeni jermenice, napetost nit v šivalni stroj, ampak tudi samo kolo verige - vsi primeri življenja. Torej ne mislim, da geometrijski problemi ostajajo samo v teoriji: v tehniki, fiziki, gradbeništvo in številnih drugih področjih, so v praktični uporabi.