Osnove teorije verjetnosti. Zakoni verjetnostnega

Veliko ljudi, ko se soočajo s pojmom "teorije verjetnosti", prestrašeni, misleč, da je to nekaj, kar nevzdržno, zelo težko. Ampak to v resnici ni tako tragično. Danes gledamo na osnovnih pojmov teorije verjetnosti, se naučijo reševati probleme s konkretnimi primeri.

znanost

Kaj je študij vejo matematike kot "verjetnosti teorije"? Ugotavlja vzorcev naključnih dogodkov in spremenljivk. Za prvič izdaje zadevnih Znanstveniki v osemnajstem stoletju, ko je študiral iger na srečo. Osnove teorije verjetnosti - dogodek. To je vsako dejstvo, da je izjavil izkušenj ali opazovanja. Toda tisto, kar je izkušnja? Druga temeljna koncept teorije verjetnosti. To pomeni, da se ta del okoliščin ni pomotoma ustvarili, in z namenom. V zvezi z nadzorom, je raziskovalec sam ne sodeluje pri izkušenj, temveč zgolj priča o teh dogodkih, pa nima nobenega vpliva na to, kaj se dogaja.

dogodki

Izvedeli smo, da je osnovni koncept teorije verjetnosti - dogodka, vendar ni zdelo uvrstitev. Vsi izmed njih so razdeljeni v naslednje kategorije:

• Zanesljivo.
• Nemogoče.
• Naključno.

Ne glede na to, kaj je prireditev, ki je gledal ali ustvarjajo v času poskusa, ki jih je prizadela ta razvrstitev. Nudimo vse vrste sestane ločeno.

gotovo dogodek

To je dejstvo, na katerega naj bi potrebne nabor dejavnosti. Da bi bolje dojeli bistvo, da je bolje dati nekaj primerov. To je podrejena zakonom in fiziko, kemijo, ekonomijo in višje matematike. Verjetnost teorija vključuje tako pomemben koncept kot pomembnega dogodka. Tukaj je nekaj primerov:

• Delamo in prejemajo plačilo v obliki plače.
• No, opravil izpite, opravili natečaj za to, da prejmejo plačilo v obliki sprejem v izobraževalni ustanovi.
• Smo vložili denar v banki, ki jih dobijo nazaj, če je to potrebno.

Takšni dogodki so resnični. Če smo izpolnili vse pogoje, se prepričajte, da dobimo pričakovani rezultat.

nemogoče dogodek

Sedaj menimo elemente teorije verjetnosti. Ponujamo vam, da gredo na pojasnila v naslednje vrste dogodkov - to je nemogoče. Za začetek določajo najpomembnejše pravilo - verjetnost nemogoče dogodka je nič.

Iz te formulacije ni mogoče odstopiti v reševanje problemov. Za ponazoritev primere takih dogodkov:

• Voda je zamrznjeno pri temperaturi plus deset (to je nemogoče).
• Pomanjkanje elektrike ne vpliva na proizvodnjo (tako nemogoče, kot v prejšnjem primeru).

Več primerov so podani ni potrebno, kot je opisano zgoraj, zelo jasno odraža bistvo te kategorije. Nemogoče dogodek nikoli ne zgodi med poskusom pod nobenim pogojem.

naključni dogodki

S preučevanjem elemente verjetnostnega računa, je treba posebno pozornost nameniti določeno vrsto dogodka. To so tisti, ki študirajo to znanost. Zaradi izkušenj kaj se lahko zgodi ali ne. Poleg tega je test lahko neomejeno število krat je treba opraviti. Pomembni primeri vključujejo:

• Razbacivati kovanec - to je izkušnja, ali test, izguba orla - ta dogodek.
• Vleče žogo iz vrečke slepo - preizkušnji, je bil ujet rdečo žogo - ta dogodek in tako naprej.

Takšni primeri so lahko neomejeno število, vendar na splošno, je treba razumeti. Povzeti in sistematizirati pridobljeno znanje o dogodkih v tabeli. Študije verjetnost teorija le ta vrsta vse predstavljene.

zakoni

Verjetnostni račun - znanost, ki preučuje možnosti za izgubo vsakem primeru. Tako kot drugi, da ima nekaj pravil. Naslednji zakoni teorije verjetnosti:

• Konvergenca zaporedja naključnih spremenljivk.
• Zakon velikih števil.

Pri izračunu možnost kompleksa se lahko uporablja kompleksne preprostih dogodkov doseči rezultate, lažji in hitrejši način. Opozoriti je treba, da se zakoni teorije verjetnosti lahko enostavno izkazal s pomočjo nekaterih izrekov. Predlagamo, da začnete, da se seznanijo s prvim zakonom.

Konvergenca zaporedja naključnih spremenljivk

Upoštevajte, da zbliževanje več vrst:

• Zaporedje slučajnih spremenljivk konvergenca v verjetnosti.
• Skoraj nemogoče.
• konvergenca RMS.
• Konvergenca v distribuciji.

Torej, na letenje, da je zelo težko dojeti bistvo. Tu so definicije, ki bodo pomagali razumeti temo. Za začetek prvi pogled. Zaporedje se imenuje konvergenca v verjetnosti, če je naslednji pogoj: n približuje neskončnosti, številka zaporedje zahteva je večja od nič in v bližini naprave.

Pojdi na naslednji pogled, skoraj zagotovo. Pravijo, da zaporedje konvergira skoraj gotovo, da naključno spremenljivko z n težijo k neskončnosti, in R, ki se nagiba na vrednost blizu enotnosti.

Naslednja vrsta - zbliževanje RMS. Pri uporabi zbliževanje-SC učenje vektorskih naključnih procesov zmanjšuje študiju naključnih usklajevanje procesov.

Je bil zadnji tip, kaj je za kratek čas videti in iti neposredno k reševanju problemov. Konvergenca v distribuciji ima še eno ime - "šibko", potem pa razloži, zakaj. Šibka konvergenca - je konvergenca funkcij distribucije na vseh točkah kontinuitete funkcije omejitev distribucije.

Bodite prepričani, da bo obljubo: šibka konvergenca je drugačna od vsega navedenega izhaja, da je slučajna spremenljivka ni definirana na verjetnostnem prostoru. To je mogoče zato, ker je pogoj nastane, izključno s pomočjo funkcije distribucije.

Zakon velikih števil

Velika pomočnik v dokaz zakona bodo izreki teorije verjetnosti, kot so:

• Chebyshev neenakost.
• Chebyshev izrek.
• Posplošena Chebyshev izrek.
• Markov teorem.

Če upoštevamo vse te izrekov, potem lahko težava traja nekaj deset listov. Imamo glavna naloga - je uporaba teorije verjetnosti v praksi. Ponujamo vam prav zdaj, in to storite. Toda preden menimo aksiomov teorije verjetnosti, da so ključni partnerji pri reševanju problemov.

aksiomi

Od prvega, ki smo jih že videli, ko govorimo o nemogoč dogodek. Spomnimo: verjetnost nemogoče dogodka je nič. Primer smo dali zelo žive in pomembne: sneg padel na temperaturo zraka trideset stopinj Celzija izvedeni.

Druga je, kot sledi: določen dogodek se zgodi z enotnostjo verjetnosti. Sedaj bomo pokazali, kako je pisano s pomočjo matematičnega jezika: P (B) = 1.

Tretjič: naključni dogodek se lahko zgodi ali ne, ampak možnost je vedno razlikuje od nič do enega. Bližje je, da enotnosti, več možnosti; če je vrednost blizu nič, verjetnost je zelo majhna. Pišemo to v matematičnem jeziku: 0

Razmislite zadnji, četrti aksiom, da je: vsota verjetnosti dveh dogodkov je enaka vsoti njihove verjetnosti. Izrazi matematične izraze: P (A + B) = P (A) + P (B).

V Aksiomi teorije verjetnosti - to je preprosto pravilo, da ne bo težko zapomniti. Poskusimo rešiti nekatere probleme, ki temeljijo na že pridobljenega znanja.

Sreča

Prvič, menijo najpreprostejši primer - na loteriji. Predstavljajte si, da ste kupili srečko za srečo. Kakšna je verjetnost, da jo bo dobil vsaj dvajset rubljev? Skupaj obtok je vključen v tisoč vstopnic, od katerih ima nagrado v višini pet sto rubljev, deset sto rubljev, dvajset in petdeset rubljev, in sto - pet. Naloga teorije verjetnosti, ki temelji na tem, kako najti pot do sreče. Zdaj smo skupaj analizirali odločitev nad prikazom opravila.

Če smo ga označujejo A nagrada pet sto rubljev, potem je verjetnost, da je enaka 0,001. Kako bomo dobili? Samo je treba število "srečnežev", karte, deljeno s skupnim številom (v tem primeru: 1/1000).

V - dobiček sto rubljev, bo verjetnost enaka 0,01. Zdaj smo ravnali enako kot zadnji ukrep (10/1000)

C - izplačila dvajset rubljev. Poišči verjetnost, da je enako 0,05.

Preostali del vstopnic nas ne zanima, saj njihove denarne nagrade je manj kot je določeno v stanju. Uporabi četrti aksiom: Verjetnost dobitka vsaj dvajset rubljev je P (A) + P (B) + P (C). Črka P označuje verjetnost izvoru dogodka, smo se v prejšnjih korakih, ki so jih že našli. Ostaja le določijo potrebne podatke, odgovor smo dobili 0.061. Ta številka bo odgovor na vprašanje delovnih mest.

kart

Težave na teoriji verjetnosti, obstajajo tudi bolj zapletena, na primer, bo naslednji posel. Preden vas krovu šestintrideset kart. Vaša naloga - pripraviti dve karti v vrsti, brez mešanja kup, prva in druga kartice mora biti asi, obleke pa ni važno.

Za začetek, našli verjetnost, da je prva karta as, to vrzel s štirimi in šestintridesetih. jo razveljavi. Smo dobili drugo kartico as z verjetnostjo tri sto in trideset petino. Verjetnost drugega dogodka je odvisno od kartice smo potegnil prvo, nas zanima, je bil as ali ne. Iz tega sledi, da v primeru, odvisno od dogodka A.

Naslednji korak najdemo verjetnost sočasnega izvajanja, kar pomeni, pomnožite A in B. Njihovo delo je, kot sledi: verjetnost za en dogodek, pomnoženo s pogojno verjetnostjo drugega, smo izračunali, ob predpostavki, da je prišlo do prvega dogodka, to je prva kartica smo potegnil asa.

Da bi postala vse je jasno, daje oznako tak element kot pogojno verjetnost dogodka. To se izračuna tako, ob predpostavki, da se dogodka zgodilo. To se izračuna na naslednji način: P (B / A).

Mi razširiti rešitev za naš problem: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) ali P (A _x B) = P (B) _* P (A / B). Verjetnost je (4/36) _* ((3/35) / (4/36) se izračuna z zaokrožitvijo na najbližjo stotinko Imamo: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. verjetnost, da smo potegnili dva asa zapored enaka devet stotink. vrednost je zelo majhna, je razvidno, da je verjetnost dogodka pojava zelo nizka.

pozabljeno soba

Ponujamo vam, da si nekaj več možnosti za nova delovna mesta, ki preučuje teorijo verjetnosti. Primeri rešitev nekaterih izmed tistih, ki ste jih videli v tem članku, poskušajo rešiti naslednji problem: Fant je pozabil telefonsko številko za zadnjo številko svojega prijatelja, a ker je bil klic zelo pomembno, nato pa se je začela, da poberem vsak po vrsti. Moramo izračunati verjetnost, da bi bil klic ne več kot trikrat. najenostavnejša rešitev problema, če veste, pravila, zakone in aksiomi teorije verjetnosti.

Pred vidite rešitev, poskušali rešiti sami. Vemo, da se lahko ta številka od nič do devet, za skupno deset vrednot. Verjetnost število potrebnih 1/10.

Nato moramo preučiti možnosti za nastanek dogodkov, vzemimo, da je fant uganili in dobila pravico, verjetnost takih dogodkov je enaka 1/10. Druga možnost: prvi klic slip, in drugi cilj. Smo izračunali verjetnost takih dogodkov: 9/10, pomnoženo s 1/9 na koncu smo dobili kot 1/10. Tretja možnost: prvi in drugi razpis je izkazalo, da je napačen naslov, je bil šele tretji fant, kjer je hotel. Izračunajte verjetnost takih dogodkov: 9/10, pomnoženo s 8/9 in 1/8, dobimo kot rezultat 1/10. Druge možnosti o stanju problema smo ne zanima, je to še vedno za nas, da določi te rezultate, na koncu imamo 3/10. Odgovor: Verjetnost, da bi fant pokliče ne več kot trikrat, v višini 0,3.

Kartice s številkami

Pred vami devet kartic, od katerih je vsaka napisana številko od ena do devet, se številke ne bodo ponovili. Dajo v škatlo in dobro premešamo. Morate izračunati verjetnost, da

• valjani sodo število;
• dvomestno.

Preden nadaljujete s sklepom določi, da m - število uspešnih primerov, in n - je skupno število možnosti. Naj nas verjetnost, da je številka še. Ni težko izračunati, da tudi številke od štirih, in to je naša m, vseh devet možne opcije, da je m = 9. Potem je verjetnost enaka 0,44 ali 4/9.

Menimo, da je drugi primer, število variant devet, in uspešen izid ne more biti vse, da je m nič. Verjetnost, da bo podolgovate kartica vsebuje dvomestno številko, kot nič.