Realne številke in njihove lastnosti

Pitagora je trdil, da je število ležeč na dnu sveta na par z glavnimi elementi. Plato je verjel, da število povezuje pojav in noumenon, ki pomaga učiti, meriti in sklepati sklepe. Aritmetika prihaja iz besede "aritmos" - številka, začetek se je začel v matematiki. Nim lahko opiše vsak predmet - od elementarnega jabolka do abstraktnih prostorov.

Potreba kot dejavnik razvoja

Na začetnih stopnjah oblikovanja družbe so bile potrebe ljudi omejene na potrebo po ohranjanju rezultata - eno vrečko zrna, dve vrečki žita itd. Za to je bilo dovolj, da imajo naravno število, katerega niz je neskončno pozitivno zaporedje celih števil N.

Kasneje je z razvojem matematike kot znanosti nastala potreba po ločenem polju celih števil Z - vključuje negativne količine in nič. Njegov pojav na ravni gospodinjstva je bil vznemirjen z dejstvom, da je bilo na primarnem računskem oddelku potrebno nekako popraviti dolgove in izgube. Na znanstveni ravni so negativne številke omogočile reševanje najpreprostejših linearnih enačb. Med drugim je zdaj postalo mogoče prikazati trivialni koordinatni sistem, ker se je pojavila referenčna točka.

Naslednji korak je bila potreba po vnosu delnih števil, ker znanost ni stala, vedno več novih odkritij je zahtevalo teoretično osnovo za nov zagon rasti. Tako se je pojavilo polje racionalnih števil Q.

Nazadnje, racionalnost ni več zadovoljila zahtevkov, saj so vsi novi sklepi zahtevali utemeljitev. Prikaže se polje realnih števil R, Euclidova dela na nesorazmernosti določenih količin zaradi njihove iracionalnosti. To pomeni, da so stari grški matematiki postavili število ne samo kot konstantno, temveč tudi kot abstraktno vrednost, za katero je značilno razmerje nezdružljivih količin. Zaradi dejstva, da so se pojavile realne številke, so "vrednosti", kot sta "pi" in "e", "videli svetlobo", brez katerih sodobna matematika ni mogla biti izvedena.

Končna inovacija je bila kompleksna številka C. Odgovorila je na številna vprašanja in jih izpodbijala že prej uvedene podatke. Zaradi hitrega razvoja algebre je bil rezultat predvidljiv - z resničnimi številkami je bila rešitev številnih problemov nemogoča. Na primer, zaradi zapletenih števil, so izločene teorije nizov in kaosa, so se enačbe hidrodinamike razširile.

Teorija sklopov. Cantor

Koncept neskončnosti je bil vedno sporen, saj ga ni bilo mogoče dokazati niti izpodbiti. V kontekstu matematike, ki je delovala s strogo preverjenimi postulati, se je to najbolj jasno pokazalo, zlasti ker je teološki vidik v znanosti še vedno imel težo.

Vendar, zahvaljujoč delu matematike Georga Cantorja, je vse sčasoma prišlo na svoje mesto. Dokazal je, da neskončni množice obstajajo neskončno množico in da je polje R večje od polja N, naj oba nima konca. Sredi XIX. Stoletja so njegove ideje glasno imenovale deliriju in zločin nad klasičnimi, nepremostljivimi kanoni, vendar je čas vse postavil na svoje mesto.

Osnovne lastnosti polja R

Realne številke ne vsebujejo le enake lastnosti kot podmapeje, ki so v njih vključene, temveč jih dopolnjujejo tudi drugi zaradi teže njihovih elementov:

• Zero obstaja in spada v polje R. c + 0 = c za katerokoli c v R.
• Nič obstaja in spada v polje R. c x 0 = 0 za poljuben c v R.
• Razmerje c: d pri d ≠ 0 obstaja in je realno za vse c, d v R.
• Polje R se odredi, to je, če je c ≤ d, d ≤ c, potem c = d za katerikoli c, d v R.
• Dodajanje v polju R je komutativno, to je c + d = d + c za katerikoli c, d v R.
• Množenje v polju R je komutativno, to je cx d = dx c za katerikoli c, d v R.
• Dodajanje v polju R je asociativno, to je, (c + d) + f = c + (d + f) za katerikoli c, d, f v R.
• Množenje v polju R je asociativno, to je (c x d) x f = c x (d x f) za vsako c, d, f v R.
• Za vsako številko iz polja R obstaja nasprotna, tako da c + (-c) = 0, kjer c, -c iz R.
• Za vsako številko v polju R obstaja inverzna taka, da cx c ^-1 = 1, kjer c, c- ¹ od R.
• Enota obstaja in spada v R, tako da c x 1 = c, za vsako c v R.
• Porazdelitveni zakon drži, tako da c x (d + f) = c x d + c x f, za vsako c, d, f v R.
• V polju R nič ni enak enemu.
• Polje R je prehodno: če je c ≤ d, d ≤ f, potem c ≤ f za vsako c, d, f v R.
• V polju R je vrstni red in dodatek medsebojno povezan: če je c ≤ d, potem c + f ≤ d + f za vsako c, d, f v R.
• V polju R je vrstni red in množenje medsebojno povezana: če je 0 ≤ c, 0 ≤ d, potem 0 ≤ c x d za vsako c, d iz R.
• Tako negativna kot pozitivna realna števila sta neprekinjena, to pomeni, da za vsako c, d in R obstaja f od R, tako da c ≤ f ≤ d.

Modul v polju R

Realne številke vključujejo takšno stvar kot modul. Označena je kot | f | Za vsako f v R. | f | = F, če je 0 ≤ f in | f | = -f, če je 0> f. Če upoštevamo modul kot geometrijsko vrednost, potem predstavlja prevoženo razdaljo - ne glede na to, ali ste "minili" z ničlo v minus ali naprej v plus.

Kompleksne in realne številke. Kaj je skupno in kakšne so razlike?

Na splošno so zapletene in realne enake enake, le da se je pri prvem mestu pridružila imaginarna enota i, katere kvadrat je -1. Elementi polj R in C lahko predstavljamo kot naslednjo formulo:

• C = d + fx i, kjer d, f pripadata polju R, in i je imaginarna enota.

Če v tem primeru dobimo c iz R, se preprosto šteje, da je f enak nič, to pomeni, da ostane le dejanski del števila. Ker polje kompleksnih številk ima enako skupino lastnosti kot polje realnih števil, f x i = 0, če je f = 0.

Glede na praktične razlike, na primer v polju R, kvadratna enačba ni rešena, če je diskriminator negativen, medtem ko polje C ne ustvarja takšne omejitve zaradi uvedbe imaginarne enote i.

Rezultati

"Opeke" aksiomov in postulatov, na katerih temelji matematika, se ne spreminjajo. Nekateri med njimi v povezavi s povečanjem informacij in uvajanjem novih teorij postavijo naslednje "opeke", ki lahko v prihodnosti postanejo osnova za naslednji korak. Na primer, naravna števila, kljub temu, da so podmnožica dejanskega polja R, ne izgubijo ustreznosti. Na njih je osnovana vsa osnovna aritmetika, s katero se začne spoznavanje človeka sveta.

S praktičnega vidika dejanske številke izgledajo kot ravne črte. Na njem lahko izberete smer, označite izvor in korak. Črta je sestavljena iz neskončnega števila točk, od katerih vsak ustreza enemu realnemu številu, racionalnemu ali ne. Iz opisa je jasno, da govorimo o konceptu, na katerem naj bi zgradili tako matematiko na splošno kot še posebej matematično analizo .