Paradoks Russell: osnovni podatki, primeri, Formulacija

Russell paradoks je dva medsebojno odvisna logično antinomija.

Dve oblike paradoks Russell

Najbolj pogosto razpravljali oblika protislovje v logičnih sklopov. Nekateri niza Zdi se, da sami člani, in drugi - ne. Nabor vseh sklopov je sam niz, tako da se zdi, da se nanaša na sebi. Null ali prazno, vendar pa ne sme biti član sebi. Zato je množica vseh nizov, saj nič ni vključena v sebi. Paradoks nastane, ko je vprašanje, ali ima niz člana sebi. To je mogoče le, če ga ni.

Druga oblika Paradoks je protislovje v zvezi z lastnostmi. Nekatere lastnosti, se zdi, da se nanašajo na sebi, druge pa ne. Premoženja, da je sama nepremičnina je nepremičnina, medtem ko je premoženje pa naj bo mačka ni. Razmislite lastnost, ki imajo lastnost, ki ne pripada njemu. če se nanaša na sebi? Še enkrat, bi moral vsak od predpostavk je nasprotno. Paradoks je bil imenovan v čast Bertrand Russell (1872-1970), ki so ga odkrili leta 1901.

zgodba

Otvoritev Russell je prišlo v svojem delu o "načelih matematiko". Čeprav je odkril paradoks neodvisno, obstajajo dokazi, da drugi matematiki in razvijalci iz teorije, vključno Ernst Zermelo in David Hilbert, so se zavedali prvi različici protislovij pred njim. Russell, vendar pa je bil prvi, ki je podrobno razpravljali paradoks v svojih objavljenih del, najprej poskušali oblikovati rešitve in prva v celoti cenili njegov pomen. Celo poglavje "načel", je bil namenjen razpravi o tem vprašanju, in vloga je bila posvečena teoriji tipov, ki Russell predlagani kot rešitev.

Russell odkril "paradoks je lažnivec", če upoštevamo Cantor je nastavljeno teorijo, ki pravi, da je moč celota manjša od nabora njenih podskupin. Vsaj na področju mora biti toliko podskupinah, kot so elementi v njej, če je ena podmnožica vsakega elementa določi vsebuje samo ta element. Nadalje Cantor dokazala, da je število elementov ne more biti enak številu podskupin. Če ne bi bilo enako število, bi morala obstajati ƒ funkcijo, ki bi prikazal elemente na svojih setih. Hkrati pa se lahko dokaže, da je to nemogoče. Nekateri elementi so lahko prikazani na funkcijo ƒ setih, ki jih vsebujejo, drugih pa ne.

Razmislite podmnožico elementov, ki ne spadajo v svojih slikah, v katerih se prikazujejo ƒ. To je samo po sebi podmnožica elementov, in zato bi ƒ funkcija prikaz na element v domeni. Težava je v tem, da potem se postavlja vprašanje, ali je ta element spada v podskupino, v katero prikazuje ƒ. To je mogoče le, če ne pripada. Russell je paradoks je mogoče razumeti kot primer isti logiki, le poenostaviti. Kaj je več - kompleti ali posamezne dele kompleta? Zdi se, da ne bi smelo biti več sklopov, kot vse skupine nizov samih. Ampak, če je Cantor izrek res, potem ne bi smelo biti več podskupin. Russell obravnavati zgolj prikaz sklopov na sebi in uporabljati kantoriansky pristop glede na nabor vseh teh elementov, ki niso iz niza, v katerem so prikazani. Prikaz Russell postane množica vseh sklopov, tretjo.

napaka Frege

"Paradoks lažnivca" je imel velik vpliv na zgodovinski razvoj teorije nizov. Pokazal je, da je koncept univerzalnega nabora zelo problematično. Prav tako je podvomil v idejo, da lahko za vsako opredeljeno stanju ali predikata prevzame obstoja množice samo tiste stvari, ki izpolnjujejo ta pogoj. Možnost paradoks glede lastnosti - naravni podaljšek do različica sklopov - vzbuja resne dvome o tem, ali je to mogoče trditi o objektivnem obstoju premoženja ali univerzalni skladnosti z vsako s pogojem, ali predikata določena.

Kmalu je bilo ugotovljeno, protislovja in težave pri delu logiki, filozofi in matematiki, ki so dali podobne predpostavke. Leta 1902, Russell je ugotovila, da se različica paradoks lahko izrazimo v logični sistem, razvit v zvezek I Gottlob Frege je "Osnove aritmetike", ki je eden od glavnih del na logiko poznega XIX - začetku XX stoletja. V filozofiji Frege mnogi razumejo kot "podaljšek" ali koncept "vrednost razdalje". Koncepti so najbližje tistim korelati. Pričakuje se, da obstaja za katero koli pogoj ali predikata. Tako, da je koncept niza, ki ne spada pod njeno definira pojem. Na voljo je tudi razred je opredeljen s tem konceptom, in je predmet opredeljuje svoj koncept le, če je ni.

Russell pisal Frege o tem konfliktu v juniju 1902 Korespondenca je postal eden od najbolj razburljivo in govorili v zgodovini logike. Frege takoj prepoznal katastrofalne posledice paradoks. Opozoril je, kljub temu, da je bila različica polemike glede lastnosti v svoji filozofiji rešiti z razlikovanjem med pojmoma ravni.

Frege je pojem razumemo kot prehod od argumentov funkcije na TRUE. Pojma prva stopnja pri čemer se kot argumente predmeti konceptov drugi stopnji sprejme kot argumente za te naloge, in tako naprej. Tako je koncept sam nikoli ne more sprejeti kot argument, in paradoks glede na lastnosti, ni mogoče oblikovati. Vendar kompleti, širitev ali pojmi Frege razumejo kot sklicevanje na isti logični vrste, kot je vseh drugih predmetov. Potem za vsak sklop je vprašanje, ali to spada pod pojem jo opredeljuje.

Ko Frege, Russell prejel prvo črko, drugi prostornino "Osnove aritmetike« je že končal tisk. Bil je prisiljen hitro pripraviti vlogo, ki daje odgovor na paradoks Russell. Primeri Frege vseboval številne možne rešitve. Vendar je prišel do zaključka, da bi oslabili koncept abstrakcije niza v logičnem sistemu.

V izvirniku je bilo mogoče sklepati, da objekt spada v sklop le, če spada v koncept, ga definira. Spremenjen sistem lahko le ugotovimo, da objekt spada v sklop le, če spada pod pojem opredeljuje več, vendar ni nastavljen na vprašanje. Russell je paradoks nastane.

Rešitev pa ni povsem zadovoljen z Frege. In to je bil razlog. Nekaj let kasneje, je bila za revidiranega sistema našel bolj kompleksna oblika protislovja. Toda še preden se je to zgodilo, Frege opustil svoje odločitve in se zdi, da pridejo do zaključka, da je bil njegov pristop preprosto neizvedljiv in da logika bo moral storiti, ne da bi kateri koli od sklopov.

Še vedno so bili predlagani drugi, precej bolj uspešne alternativne rešitve. Ti so predstavljeni spodaj.

Teorija tipov

Ugotovljeno je bilo, zgoraj je bilo, da Frege ustrezen odziv na paradokse teorije množic v različici, pripravljene za lastnosti. Odgovor Frege je bil pred najpogosteje obravnavali rešitve za to obliko paradoks. To temelji na dejstvu, da so lastnosti predmet različnih vrst in kakšne vrste premoženja ni nikoli enako kot stvarmi, na katere se nanaša.

Tako nastane niti vprašanje, ali je primerno, da sama nepremičnina. Logična jezik, ki ločuje elemente take hierarhije, s pomočjo teorije tipov. Čeprav je s Frege, prvič že v uporabi je v celoti pojasniti in utemeljiti Russell v prilogi k "načelo". Teorija tipov je bolj popolna, kot je razlikovanje ravni Frege. Ona skupni lastnosti niso le različne vrste logike, ampak tudi nastavljen. tip teorije razrešiti protislovje v paradoks Russell sledi.

Da bi lahko bil filozofsko ustrezna, sprejetje teorije vrst nepremičnin zahteva razvoj teorije o naravi lastnosti, tako da bi lahko pojasnili, zakaj jih ni mogoče uporabiti za sebe. Na prvi pogled, je smiselno, da predikat lastnega premoženja. Premoženje je samo-identiteta, se zdi, da je tudi self-identitete. Zdi se, da je lepo, prijetno last. Na enak način, očitno, se zdi napačno reči, da je lastnost, da so mačka mačka.

Kljub temu, različni misleci upravičena delitev različnih vrst. Russell celo dal različne razlage v različnih obdobjih v svoji karieri. Na svoji strani, utemeljitev za ločevanje različnih konceptov ravneh Frege prihaja iz njegove teorije nenasičenih konceptov. Pojmi kot so funkcije, v bistvu, so nepopolni. Da bi zagotovili vrednosti, ki jih potrebujejo argument. Ne, ne samo enega koncepta lahko za predikat koncept iste vrste, saj še vedno potrebuje svojo trditev. Na primer, čeprav je možno, da se kvadratni koren kvadratni koren števila, ne moreš uporabiti kvadratni koren funkcije na kvadratni koren funkcije in dobili rezultat.

O konservativizem lastnosti

Druga možna rešitev je paradoks lastnosti zanikanje lastnosti obstoja pod nobenim danih pogojih ali njeno dobro oblikovana predikatom. Seveda, če nekdo eschews metafizične lastnosti obeh objektivnih in neodvisnih elementov kot celote, če vzamemo nominalizem paradoks mogoče popolnoma izogniti.

Vendar pa je za reševanje antinomije ni treba biti tako ekstremni. Logic sistemi višja naročilo razvili Frege in Russell, vsebujejo kar se imenuje konceptualni načelo, po katerem vsaka odprta formule, ne glede na to, kako zapleteno obstaja kot del premoženja ali koncepta, na primer, samo tiste postavke, ki ustrezajo formuli. Ti se uporabljajo za lastnosti vseh možnih nizom pogojev ali predikatov, ne glede na to, kako zapleteni so.

Kljub temu, da je možno, da si vzamete več strogih metafizike lastnosti, ki daje pravico do objektivnega obstoja preprostih lastnosti, vključno z, na primer, kot so rdeče barve, čvrstost, prijaznost in tako naprej. D. Lahko celo pustiti te lastnosti veljajo za sebe, kot so prijaznost lahko bodite prijazni.

In enako stanje za kompleksne lastnosti je mogoče zanikati, na primer, ti "lastnosti", kot ob sedemnajst-glave, bo napisana pod vodo in podobno. D. V tem primeru ni vnaprej določen pogoj ne ustreza premoženja, ki se razume kot ločeno obstoječi element, ki ima svoje lastnosti. Tako lahko zanikajo obstoj preprostih lastnosti biti premoženje, ki non-uporablja-za-sebe in se izogniti paradoksom z uporabo bolj konservativne metafizične lastnosti.

paradoks Russell: rešitev

Predvsem je bilo ugotovljeno, da je na koncu svojega življenja Frege popolnoma opustili logiko nizov. To je seveda ena rešitev antinomije v obliki nizov: preprosta zanikanje obstoja teh elementov kot celote. Poleg tega obstajajo še drugi priljubljena izbira, osnove, od katerih so prikazani v nadaljevanju.

Teorija za številne vrste

Kot smo že omenili, Russell igral za bolj popolno teorijo tipov, ki bi si delijo ne le lastnosti ali koncepte na različne vrste, ampak tudi določiti. Russell deljeno nastavljen na več ločenih enot, je več sklopov ločenih objektov, itd Nizi objektov niso bili upoštevani, in več sklopov - .. Scena. Veliko nikoli uživala vrsto, vam omogoča, da imate kot član sam. Zato ni skupek vseh sklopov, ki niso člani sama, ker za katerikoli sklop vprašanj o tem, ali je kot član, je sama vrsta kršitev. Spet je vprašanje tukaj je, da pojasni metafizike sklopov pojasniti filozofske temelje delitve v vrstah.

stratifikacija

Leta 1937 se je V. V. Kuayn ponudila alternativno rešitev, na podoben način kot v teoriji tipov. Osnovne informacije o njem so.

Ločevanje sklopov in drugih elementov. Made tako, da je predpostavka za iskanje množice vedno je napačna ali brez pomena. Nastavi se lahko zagotovijo samo pri določanju njihovih pogojev niso vrsta kršitev. Tako, za Quina, izraz "x ni član x" je smiselna izjava ne pomeni obstoja množice vseh elementov x, ki izpolnjujejo ta pogoj.

V tem sistemu obstaja niz nekega odprtega formulo A le, če je stratificiran, t. E. Če so spremenljivke take, dodeljene pozitivna cela števila tako, da za vsako karakteristiko pojava množice pred it spremenljivka je dodeljena naloga enota manjša od spremenljivke, sledi za njim. Ta blokira Russell je paradoks, saj je formula, uporabljena za določitev niz problemov, tam je enaka pred in po variabilni članstvo znak, zaradi česar je unstratified.

Ampak to je še ugotoviti, ali je posledica sistema, ki Quine imenovane "nove temelje matematične logike" dosledni.

zavrnitev

Povsem drugačen pristop poteka v teoriji Zermelo - Fraenkel (ZF). Tudi tu, določi omejitev glede obstoja nizov. Namesto, pristop "od zgoraj navzdol" v Russell in Frege, ki je sprva mislil, da se lahko za vse koncepti, lastnosti ali stanja kažejo na obstoj množice vseh stvari s to nepremičnino ali za izpolnitev takega pogoja, v ZF-teoriji, se začne vse, kar je "od spodaj navzgor".

Posamezni elementi praznega niza in tvorijo niz. Zato, za razliko od prejšnjih sistemov in Russell Frege FIT ne pripada univerzalni set, ki vsebuje vse elemente in tudi vse sklope. ZF postavlja stroge omejitve v zvezi z obstojem nizov. Lahko obstajajo le tiste, za katere je jasno domnevajo, ali ki se lahko oblikujejo z iterativnimi procesov in podobno. D.

Potem, namesto koncept odvzema naivne niz, ki določa, da je določen element vključena v komplet, če in samo, če izpolnjuje pogoje iz načela ločevanja uporablja DF, ločitev ali "razvrščanje". Namesto da bi ob predpostavki, da obstaja množica vseh elementov, ki so brez izjeme izpolnjevati določeno stanje, za vsak obstoječ nabor Aussonderung kaže na obstoj podskupini vseh elementov v prvotni niz, ki izpolnjuje pogoj.

Sledi načelo abstrakcije: če je A obstaja, za vse elemente x v A, x pripada določeni skupini A, ki izpolnjuje pogoj, če in samo če x izpolnjuje pogoj C. Ta pristop rešuje paradoks Russell, saj ne moremo preprosto prevzeti da je množica vseh sklopov, ki niso člani sami.

Ob veliko sklopov, lahko izberete, ali ga razdelite na skupine, ki so same po sebi, in tisti, ki niso taki, ampak saj ni univerzalnega niz nismo vezani nabor vseh sklopov. Ne prevzema problem določa Russell protislovja ni mogoče dokazati.

druge rešitve

Poleg tega so se zgodile nadaljnje razširitve ali spremembe vseh teh rešitev, kot so razvejanje teorije tipov "principov matematike", razširitev sistema "Matematične logike" Quinea in kasnejši razvoj teoretične teorije Bernaysa, Gödela in von Neumanna. Vprašanje, ali je odgovor na nerešljiv paradoks Bertranda Russella še vedno predmet razprave.