Fourierove vrste: zgodovina in vpliv matematično mehanizma za razvoj znanosti

Fourier series - ta pogled poljubno izbere funkcije za obdobje zapored. Na splošno je ta rešitev imenuje širitev element na pravokotni osnovi. Razširitev funkcij v Fourier seriji je precej močno orodje za reševanje različnih težav, zaradi lastnosti preoblikovanja v integracije, diferenciacija, kot tudi premik v izražanje argumentov in konvolucijo.

Oseba, ki je ne pozna višje matematike, pa tudi z deli francoskega znanstvenika Fourier, najverjetneje ne bodo razumeli, kaj je "čine" in kaj počnejo. Vendar je ta transformacija precej trdno vpisana naša življenja. Uporablja se ne le matematiko, ampak tudi fiziki, kemiki, zdravniki, astronome, seizmologi, oceanographers in drugi. Vzemimo tudi podrobnejši pogled z deli velikega francoskega znanstvenika, ki so izvedli odkritje, pred svojim časom.

Človek in Fourierjeva transformacija

Fourierove vrste je ena od metod (skupaj z analizo in drugi) Fourier-jeve transformacije. Ta proces poteka vsakič, ko človek sliši nobenega zvoka. Naše uho samodejno pretvori zvočno valovanje. Nihajni gibanje osnovnih delcev v elastičnega medija ekspandiramo v seriji (spektra) zaporednimi vrednostmi prostornino za tone različnih višin. Dalje, možgani pretvarja te podatke v znanih zvokov za nas. Vse to je poleg naše želje ali sama zavest, vendar, da bi razumeli procese, ki se je več let za študij višje matematike.

Preberite več o Fourierjeva transformacija

Fourierjevo transformacijo lahko izvedemo analitično, številke in druge metode. Fourier serije so številka Postopek za razcepitev niti nihajni procesov - od oseki in valovi svetlobe v sončnih ciklov (in drugih astronomskih teles) aktivnost. Z uporabo teh matematičnih tehnik, je mogoče razstaviti funkcijo, ki predstavlja nobenih nihajočih procese v številnih sinusnih komponent, ki gredo od najmanj do največ in obratno. Fourierjeva transformacija je funkcija opisuje fazo in amplitudo sinusoids ustreza določeni frekvenci. Ta postopek se lahko uporablja za reševanje zelo zapletene enačbe, ki opisujejo dinamičnih procesov, ki se pojavljajo pod vplivom toplote, svetlobe ali električne energije. Tudi serija Fourier uporablja za razlikovanje DC komponent v kompleksnih valov, tako da je mogoče pravilno interpretirati eksperimentalne ugotovitve v medicini, kemiji in astronomiji.

zgodovinski podatki

Idejni oče te teorije je francoski matematik Zhan Batist Zhozef Fure. Njegovo ime kasneje in je bila ta transformacija imenuje. Sprva so znanstveniki uporabili tehniko za študij in pojasniti mehanizme za toplotno prevodnost - širjenje toplote v trdnih snovi. Fourierjeva predlagal, da se začetna nepravilna porazdelitev toplotnega vala lahko razdelijo navadno sinusoide, od katerih vsaka bo imela najnižjo temperaturo in najvišjim, kot tudi njegovo fazo. Tako vsaka taka sestavina, ki se meri od najnižje do najvišje in obratno. Matematična funkcija, ki opisuje zgornji in spodnji vrhove krivulje, kot tudi faza vsako harmonsko, imenovano Fourierjevo transformacijo temperaturne porazdelitve izražanja. Avtor teorije zmanjšano splošno funkcijo distribucije, da je težko, da matematični opis, v zelo enostaven za uporabo več periodičnih funkcij sinusa in kosinusa, v višini daje začetno porazdelitev.

Načelo pretvorbe in stališča sodobnikov

Sodobniki znanstvenika - vodilni matematiki v začetku devetnajstega stoletja - ni sprejel to teorijo. Glavni očitek je bil odobritev Fourier, ki je razpeta prekinjena funkcija, ki opisuje ravno črto ali krivuljo, da lahko predstavimo kot vsoto sinusnih izrazov, ki so neprekinjeno. Kot primer, menijo, "korak" Heaviside: njegova vrednost je nič na levi strani reže in ena na desni strani. Ta funkcija opisuje odvisnost električnega toka za časovno spremenljivko za verigo zaprtje. Sodobna teorija v tistem času, še nikoli ni naletela na tako situacijo, ko bi se prekinjenega izraz opisan s kombinacijo stalnih, skupnih funkcij, kot so eksponentna, sine, linearno ali kvadratno.

Kaj moti francoski matematiki v teoriji Fourier?

Konec koncev, če je bil matematik prav trditi, nato pa, kot seštevek neskončno trigonometrične Fourier serije, je mogoče dobiti natančno predstavo o stopnji izražanja, tudi če je niz podobnih korakov. V začetku devetnajstega stoletja, ta izjava je zdelo nesmiselno. Toda kljub vsem dvomom, so mnogi matematiki razširila obseg študij tega fenomena, da bo presegel študij toplotnih prevodnosti. Vendar pa je večina znanstvenikov še vedno trpijo vprašanje: "? Ali lahko vsota sinusni seriji valov konvergira na točno vrednost nezvezne funkcije"

Konvergenca serije Fourier: Primer

Vprašanje konvergence dvigne vsakič, ko potrebujete seštevanja neskončno zaporedje številk. menijo, klasičen primer za razumevanje tega pojava. Ali lahko sploh pridejo na steno, če je vsak korak polovico prejšnje? Recimo, da sta dva metra od cilja, prvi korak bližje okoli pol poti, je naslednji - oznaka tričetrtinsko, in po peti, boste premagali skoraj 97 odstotkov poti. Vendar, ne glede na to, koliko korakov ste naredili niti, je cilj pridete v ožjem matematičnem smislu. Uporaba numeričnih izračunov, lahko dokažemo, da na koncu lahko bliže poljubno majhno določeni razdalji. To je enakovredno dokazilo, ki dokazuje, da je skupna vrednost polovico, četrtino, in tako naprej. E. Bo nagibajo k enotnosti.

Vprašanje konvergence: drugi prihod, ali instrument Lord Kelvin

Večkrat se je pojavilo vprašanje v poznem devetnajstem stoletju, ko so serije Fourier poskušal uporabiti za napovedovanje intenzivnost Ebbs in tokov. V tistem času, je Lord Kelvin izumil napravo je analogni računalnik, ki je omogočil jadralci mornarica in trgovske mornarice monitor je naravni pojav. Ta mehanizem je opredeljen sklop faz in amplitud višino tabele od plime in ustreznih časovnih trenutkih, natančno izmerjenih v pristanišču skozi vse leto. Vsak parameter je sinusni višine izraz komponenta plime in je bil eden izmed rednih komponent. Rezultati meritev so vhod za računalniške naprave, Lord Kelvin, sintetiziranja krivuljo, ki predvideno višino vode v odvisnosti od naslednjega leta. Zelo kmalu, so bile te krivulje sestavljena za vse pristanišč na svetu.

In če se bo proces razdeli prekinjen funkcijo?

Takrat je bilo jasno, da lahko naprava napovedujejo val, s številnimi elementi računa izračun veliko število faz in amplitud, in tako zagotavlja bolj natančno napoved. Kljub temu pa se je izkazalo, da je ta vzorec ni opaziti v primerih, ko plimovanja izraz, ki se sintetizira, ki jih vsebuje oster skok, kar pomeni, da nezvezne. V primeru, da se naprava za vnos podatkov iz tabele časovnih točk, izračunava nekaj Fourier koeficientov. Obnovitev prvotno funkcijo, zaradi sinusne komponente (v skladu z ugotovljeno koeficienti). Razlika med prvotnim in rekonstruirane izraza je lahko izmeri na kateri koli točki. Ko je mogoče videti Ponovljene izračuni in primerjave, da je vrednost največje napake ne zmanjša. Vendar pa so lokalizirane na območju, ki ustreza točki preloma in vse druge točke ponavadi nič. Leta 1899 je bil ta rezultat potrjen teoretično Joshua Willard Gibbs Yale University.

Konvergenca serije Fourier in razvoj matematike kot celote

Fourierova analiza ne uporablja izraze, ki vsebujejo neskončno število poruši v določenem intervalu. V splošnem serije Fourier, če je prvotna funkcija zastopa zaradi dejanskih fizičnih meritvah, vedno konvergirajo. Vprašanja konvergence tega procesa za posebne razrede funkcij, ki so pripeljala do novih vej matematike, kot so teorija splošnih funkcij. To je povezano z imeni, kot so Schwartz, J .. Mikusiński in J. Temple. V skladu s to teorijo, je bila jasna in natančna teoretična podlaga za takšno ekspresijo določena kot funkcija Diracove delta (opisuje regijo enotnega območja, koncentriramo v neskončno bližini točke) in "koraku" Heaviside. Skozi to delo Fourierova vrsta se je začela uporabljati za reševanje enačb in problemov, ki vključujejo intuitivna pojme: točka naboja, točka maso, magnetnih dipolov, in koncentrirano obremenitev na drogu.

metoda Fourier

Fourierove vrste, v skladu z načeli motenj, začeti z razgradnjo kompleksnih oblik v enostavnejše. Na primer, sprememba toplotnega toka zaradi prehoda skozi različne ovire toplotnoizolativnega materiala nepravilnih oblik ali spreminjajoče se površje - potres, sprememba v orbiti na nebesnega telesa - vplivom planetov. Značilno je, da te enačbe, ki opisujejo enostaven klasični sistem ELEMENTARY rešen za vsako posamezno valovno dolžino. Fourier je pokazala, da se enostavne rešitve lahko povzamemo tako za več zahtevnih nalog. V jeziku matematike, Fourier series - metodologijo za predložitev izražanja vsoti harmonične - kosinusa in sinusnih valov. Zato je ta analiza znana tudi pod imenom "harmonično analizo".

Fourier series - idealen način za "računalniški dobi"

Pred oblikovanjem računalniško tehnologijo Fourier metoda je najboljše orožje v arzenalu znanstvenikov, ki delajo z valovno naravo našega sveta. Fourierove vrste v kompleksne oblike vam omogoča, da ne samo rešiti preproste probleme, ki jih je mogoče neposredno uporabo Newtonovi zakoni mehanike, temveč tudi temeljne enačbe. Večina odkritij Newtonovo znanosti devetnajstega stoletja je postala mogoča le zaradi načina Fourier.

Fourier series danes

Z razvojem Fourierjevo transformacijo računalniki so se dvignila na novo raven. Ta tehnika je trdno zasidran v skoraj vseh področjih znanosti in tehnologije. Kot primer, digitalni avdio in video. Njegovo izvajanje je bilo možno le po zaslugi teorije francoski matematik v začetku devetnajstega stoletja razvil. Tako je serija Fourier v kompleksni obliki dovoljeno, da preboj v študiji vesolja. Poleg tega je to vplivalo na študij fizike polprevodniških materialov in plazme, mikrovalovne akustiko, oceanografijo, radar, seizmologije.

Trigonometrične Fourier series

V matematiki, serija Fourier je način predstavlja poljubne kompleksne funkcije kot vsota enostavnejša. Na splošno primerih se lahko število izrazov neskončno. Večje kot je število štejejo v izračun, ki je bolj natančen končni rezultat, dobljen. Najpogostejša uporaba preproste trigonometrične kosinus ali sinus funkcije. V tem primeru, je serija Fourier imenuje trigonometrične in odločitev takšnih izrazov - harmonično razgradnji. Ta metoda ima pomembno vlogo pri matematiki. Najprej, trigonometrične vrste zagotavlja sredstva za slike, kot tudi študijo funkcij, to je glavna enota teorije. Poleg tega pa nam omogoča, da rešiti številne težave v matematične fizike. Nazadnje je ta teorija prispevala k razvoju matematične analize, da je prišlo do številnih zelo pomembnih vej matematične znanosti (teorije integralov, teorija periodičnih funkcij). Poleg tega je izhodišče za razvoj naslednjih teorij: sklopov, funkcije realne spremenljivke, funkcionalne analize, in tudi postavil temelje za harmonično analizo.