Boolova algebra. algebra logike. Elementi matematične logike

V današnjem svetu smo vse bolj uporabljajo različne naprave in pripomočke. In ne samo takrat, ko je treba uporabiti dobesedno nadnaravno moč: premikanje bremena dvigniti do višine, kopati globoko in globok jarek, itd Avtomobili danes zbrali roboti, je hrana kuhana Multivarki in osnovni izračuni aritmetičnih proizvodnjo računala ... Bolj in bolj pogosto slišimo frazo "Boolova algebra". Morda je prišel čas, da razumejo vlogo človeka pri oblikovanju robotov in strojev sposobnost reševanja ne le matematična, ampak tudi logične težave.

logika

V grški logiki - urejen sistem misli, ki ustvarja razmerje med danimi pogoji in vam omogoča, da sklepati na podlagi predpostavk in ocen. Pogosto se vprašamo drug drugemu: "Logično je, da" Odgovor potrjuje naše domneve ali kritizira vlak misli. Toda proces ne ustavi tam: bomo še govorili.

Včasih se je število pogojev (vhodnih), je tako velika, ter odnos med njima je tako zmedeno in zapletena, da je človeški možgani ne morejo "prebaviti" vse naenkrat. Morda boste potrebovali več kot en mesec (teden, leto), za razumevanje tega, kaj se dogaja. Toda sodobno življenje, ne da nam te časovne intervale za sprejemanje odločitev. In smo se zateči k pomoči računalnikov. In prav tu, da je algebra in logiko, s svojimi zakoni in lastnosti. Po prenosu vseh originalnih podatkov, dovolimo, da računalnik prepozna vse odnose, da se odpravijo protislovja in da bi našli zadovoljivo rešitev.

Matematika in logika

Znane Gotfrid Vilgelm Leybnits oblikoval koncept "matematične logike", ki so bile naloge enostavno razumeti le majhen krog učenjakov. Posebnega pomena je smer ni povzročila, in na sredini XIX stoletja matematične logike znan jih malo.

Veliko zanimanje v znanstveni skupnosti, je povzročila spor, v katerem je Anglež Dzhordzh Bul prijavljeno svojo namero za vzpostavitev vejo matematike, ki nimajo prav nobene praktične uporabe. Kot vemo iz zgodovine, v tem času aktivno razvija industrijske proizvodnje, smo razvili vse vrste pomožnih naprav, ki so t. E. Vsa znanstvena odkritja so imeli praktično usmerjen.

Če pogledamo naprej, smo rekli, da je Boolova algebra - najbolj uporabljena na svetu, je danes del matematike. Torej vaša trditev Buhl izgubil.

Dzhordzh Bul

Osebnost avtorja zasluži posebno pozornost. Tudi glede na dejstvo, da je v preteklosti so ljudje odraščali pred nami, še vedno je treba opozoriti, da je v 16 letih John. Buhl poučeval na šoli vasi, in do 20 let, odprl svojo lastno šolo v Lincoln. Matematik popolnoma obvlada pet tujih jezikov, in v svojem prostem času, bral dela Newton in Lagrange. In vse to - na sina običajnem delavca!

Leta 1839, Buhl je poslal svoje prve znanstvene članke v Cambridge Mathematical Journal. Znanstvenik obrnil 24 let. Delo Boole je tako zainteresirani člani Kraljeve družbe, leta 1844 je prejel medaljo za njegov prispevek k razvoju matematične analize. so opisali nekaj objavljeni članki, v katerih se elementi matematične logike, matematike dovoljeno mlade, da se delovno mesto profesorja na Visoki šoli za Cork County. Spomnimo, da je v zelo Boole izobraževanja ni bilo.

ideja

Načeloma Boolova algebra je zelo preprosta. Obstajajo izjave (logični izrazi), da se lahko z vidika matematike, se opredeljene le z dvema besedama: "true" ali "false". Na primer, drevesa v spomladanskem razcvetu - resnica, v poletnih mesecih sneži - laž. Lepota matematike je, da ni nujno potrebno uporabiti samo številke. Za sodb simbolno povsem prilegajo nobenih izjav z edinstveno smislu.

Tako lahko algebra logike uporabiti dobesedno povsod: v spored in pisanje navodil, analiza nasprotujočih si informacij o dogodkih in določanje zaporedja dejavnosti. Najbolj pomembna stvar - da se zavedaš, da ni važno, kako ugotoviti resnico ali Lažnost izjav. Od teh "kako" in "zakaj", kar potrebujete, da prezreti. Pomembno je le izjava o dejstvu: resnica je laž.

Seveda, programiranje najpomembnejše funkcije algebre logike, ki so posnete z ustreznimi znaki in simboli. In jih naučiti - to pomeni, da se naučijo novega tujega jezika. Nič ni nemogoče.

Osnovni pojmi in definicije

Ne gre v globino, imamo opravka s terminologijo. Torej, Boolova algebra predpostavlja:

• izjave;
• logične operacije;
• funkcije in zakoni.

Izjave - katerokoli pritrdilno izraz, ki se lahko razlaga dve vrednoti. So zapišemo kot številkami (5> 3) ali formuliran poznanih besed (slonjih - največja sesalcev). V tem primeru je izraz "žirafa v vratu ni" ima tudi pravico do obstoja, samo Boolova algebra ga opredeljujejo kot "laž".

Vse izjave morajo biti nedvoumna, vendar pa je lahko osnovna ali sestavljena. Nedavna uporaba logično paket. E. V algebra izjave sodb spojine, nastale z dodajanjem osnovnih operacij logike.

Boolove operacije algebre

Mi že ne pozabite, da je poslovanje v algebre sodb - logično. Tako kot algebre številk z uporabo aritmetične operacije za seštevanje, odštevanje, ali pa jih primerjati številke, matematične logike elementi omogočajo, da zapletene izjave, zanikati ali za izračun končnega rezultata.

Logične operacije za formalizacijo in enostavnosti po formuli, znano, da nas v aritmetiki izraženo. Lastnosti Boolove algebre enačb omogočajo snemanje in izračunati neznano. Logične operacije so običajno posnete s tabelo resnice. Njeni elementi opredeljujejo stolpce in delovanje računalništva, ki se izvajajo na njih, in vrstice kažejo rezultat izračunov.

Osnovna logika delovanja

Najpogostejši v logičnih operacij algebre so negacija (NE), in logično AND in OR. Torej je mogoče praktično opisati vse korake v algebra sodb. podrobno preučevali smo vsako od treh postopkov.

Negacija (ne) nanese na enega samega elementa (operanda). Zato je operacija imenuje enočlenska negacija. Za snemanje pojem "ne" z uporabo teh simbolov: ¬, A ali A !. V obliki tabele je videti takole:

Funkcija zanikanja, značilne za take izjave: če je to res, potem je A - je napačen. Na primer, luna vrti okoli Zemlje - resnice; Zemlja se vrti okoli lune - laž.

Logična množenje in dodajanje

Logično IN operacijo se imenuje veznik. Kaj to pomeni? Prvič, da se lahko uporabljajo pri dveh operandov, kar pomeni, da - .. binarni delovanje. Drugič, treba je le v primeru resnice obeh operandov (oba A in B) je res, in sam izraz. Pregovor: »Potrpežljivost in malo napora" pomeni, da lahko samo dva dejavnika pomaga oseba spopadanje s težavami.

simboli so uporabljeni za snemanje: A∧B, A⋅B ali A && B.

Konjunkcija je podobna množenje v aritmetiki. Včasih in reči - logično razmnoževanje. Če pomnožimo elemente vrstic tabele, dobimo rezultat podoben logično razmišljanje.

Disjunkcije je logična ali operacija. Res je, če je vsaj ena od izjav velja (ali A ali B). To je napisano takole: A∨B, A + B ali A || B. Resnica tabela za te operacije so:

Disjunkcije podoben aritmetično dodatek. Logično dodajanje operacija ima le eno omejitev: 1 + 1 = 1. Ampak moramo zavedati, da je v digitalni obliki omejena na matematični logiki 0 in 1 (pri čemer 1 - resnica, 0 - false). Na primer, izjava "V muzeju si lahko ogledate mojstrovino ali najti dobro podjetje" pomeni tisto, kar si lahko ogledate umetniška dela, in da je mogoče izpolniti zanimivo osebo. Hkrati pa ne izključuje možnosti, obenem izpolnjeni obeh dogodkov.

Funkcije in zakoni

Torej, smo že vedeli, kaj je logična operacija uporabo Boolove algebre. Funkcije opisati vse lastnosti elementov matematične logike, in nam omogočajo, da se poenostavi kompleksne sestavljene stavke. Najbolj jasen in preprost zdi zavrnitvi last poslovanja z izvedenimi finančnimi instrumenti. Z so derivati razume XOR, vpliva in enakovrednosti. Kot smo prebrali samo z osnovnimi operacijami, in potem je nepremičnina jih tudi upoštevati samo.

Asociativnost pomeni, da v izjavah, kot so "oba A in B, in B" zaporedje seznam operandov ni važno. Formula je napisan kot sledi:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kot lahko vidite, to ni značilno le za skupaj, ampak disjunkcije.

Komutativnost trdi, da je rezultat v povezavi ali disjunkcije ni odvisen od katerih je točka obravnava na začetku:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivnost omogoča razkrije nosilce v kompleksnih logičnih izrazov. Pravila so podobna oklepaju odpiranja v razmnoževanju in poleg tega v algebre:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Lastnosti enoto in praske, ki je lahko eden od operandov tudi podobnih algebraične množenje z nič ali ena, in dodatkom enote:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A A∨1 = 1.

Idempotentnost nam pove, da če je sorazmerno dve enaki operandi posledica delovanja enak, lahko "vrgel" odvečne Kompliciran sklepanja operandi. In operacije dogovoru in disjunkcije so idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Pridobitev nam omogoča tudi poenostavitev enačbe. Absorpcija navaja, da kadar se izraz uporablja za enega operanda, druga operacija z istim elementom operanda rezultata se absorbira operacijo.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

zaporedje operacij

Zaporedje operacij je zelo pomembna. Pravzaprav, kot pri algebri, da je prednostna naloga, ki uporablja Boolove algebre. Formule lahko poenostavimo veljajo samo na pomen operacij. Razvrstitev je najbolj pomembno, da zanemarljiva, dobimo naslednje zaporedje:

1. Zanikanje.

2. Konjunkcija.

3. disjunkcije, XOR.

4. posledice, enakovrednost.

Kot lahko vidite, samo zanikanje skupaj in nimajo enake prednosti. Prednostna naloga disjunkcije in XOR so enaki, kot tudi prioritete implicitno in enakovrednosti.

Funkcije implicitno in enakovrednosti

Kot smo že dejali, poleg osnovnih logičnih operacij, matematične logike in teorije algoritmov, ki uporabljajo izvedene finančne instrumente. To je najbolj pogosto posledice in enakovrednost.

Posledice ali logična posledica - ta izjava, v kateri je en ukrep pogoj, in drugi - posledica njenega izvajanja. Z drugimi besedami, ta predlog z izgovorom, da "če ... potem". "Po večerji gre računanju." E. Za vožnjo je treba priviti na sani hribu. Če ni želja, da se premaknete z gore, nato pa povlecite sani ni potrebno. Je napisan tako: A → B ali A⇒B.

Enakovrednost pomeni, da je prišlo do neto učinek samo, če sta oba operanda resnična. Na primer, noč se umakne dan nato (in samo takrat), ko sonce vzhaja na obzorju. V jeziku matematične logike te izjave je napisan kot A≡B, A⇔B, A == B

Drugi zakoni Boolove algebre

Sodba algebra razvija, in mnoge zainteresirane znanstveniki za oblikovanje novih zakonov. Najbolj znana, se štejejo predpostavlja, škotski matematik O. De Morgan. Opazil je, in je opredelitev teh lastnosti so tesno negacije, poleg in Double Negative.

Zapri zanikanje predlaga, da pred oklepaj ni zanikala: ne (A ali B) = ne A ali B. NE

Ko je operand zanikal, ne glede na svojo vrednost, recimo okoli tega:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

In končno, dvojna negacija sama kompenzira. tj Prej ali operand negacija izgine ali pa ostane samo ena.

Kako rešiti testi

Logic pomeni poenostavitev, vnaprej enačb. Tako kot v Lie algebra, je treba čim bolj olajšati prvi pogoj (da se znebite zapletenih vhodnih operacij in z njimi), nato pa začeli iskati za pravilen odgovor.

Kaj storiti, da bi poenostavili? Pretvarjanje vseh derivatov v preprosti operaciji. Nato odkrije vse nosilce (ali obratno, da bi nosilce za zmanjšanje tega elementa). Naslednji korak je treba uporabiti Boolove algebre lastnosti v praksi (absorpcijske lastnosti nič in ena, t.).

Konec koncev, bi morala enačba sestavljena iz minimalnega števila neznank, v kombinaciji z enostavnimi operacijami. Najlažji način za iskanje rešitev, če bi veliko tesnih negativov. Potem bo odgovor pop up, kot da sama po sebi.