Diagonal enakostranični trapez. Kaj je srednja linija trapeza. Vrste trapez. Trapez - to ..

Trapez - poseben primer štirikotnika, v katerem je en par straneh vzporedno. Izraz "trapez" izhaja iz grške besede τράπεζα, kar pomeni "miza", "mizo". V tem članku bomo pogled na vrste trapezu in njenih lastnosti. Prav tako si bomo ogledali, kako izračunati posamezne elemente geometrijskega lika. Na primer, diagonala enakostraničnega trapeza, srednji linije, površine in druge. Gradivo vsebuje osnovne geometrije priljubljeno slog, t. E. V enostavno dostopen način.

Pregled

Najprej, kaj je razumeti, kaj je štirikotnik. Ta številka je poseben primer poligona, ki ima štiri stranice in štiri oglišča. Dve oglišča štirikotne, ki niso v bližini, ki se imenuje nasprotno. Enako lahko rečemo dveh nesosednjih straneh. Glavne vrste štirikotnike - paralelogram, pravokotnik, romb, kvadrat, trapez in deltoid.

Torej nazaj na trapezu. Kot smo že dejali, je ta številka obe strani sta vzporedni. So imenovane baze. Druga dva (nista vzporedni) - stranice. Materiali različnih pregledov in preiskav Zelo pogosto se lahko srečate z izzivi, povezanimi s trapezi, katerih rešitev pogosto zahteva študentovo znanje, ki ni zajeto v programu. Šola geometrija Tečaj uvaja učence s koti lastnosti in diagonal kot tudi srednjo linijo enakokrakega trapeza. Drugače pa iz ima geometrijska oblika druge funkcije. Ampak o njih kasneje ...

vrste trapez

Obstaja veliko vrst tega zneska. Vendar pa je najbolj pogosto v navadi, da menijo, dva od njih - enakokraki in pravokotna.

1. pravokotnega trapeza - številka v katerih je ena od stranic pravokotno na podlago. Ima dva kota so vedno enaki devetdeset stopinj.

2. enakokrak trapez - geometrijski lik, katerega stranice so enaki. Torej, ter koti ob vznožju so tudi enaki.

Glavna načela metod za preučevanje lastnosti trapeza

Temeljna načela vključujejo uporabo tako imenovanega opravil pristop. Dejstvo je, da ni potrebe, da začne teoretično seveda Geometrija novih lastnosti tega zneska. Lahko so odprti ali v procesu oblikovanja različnih nalog (boljši sistem). Zelo pomembno je, da učitelj ve, katere naloge boste morali dati pred študentov v danem trenutku učnega procesa. Poleg tega lahko vsak trapezoidne lastnina zastopana kot ključno nalogo v sistemu nalogo.

Drugo načelo je tako imenovana spiralna organizacija študijskih "izjemne" trapezu lastnosti. To pomeni vrnitev k procesu učenja na posameznih značilnosti geometrijskega lika. Tako so učenci lažje, da se jih spomnimo. Na primer, v lasti štiri točke. Lahko se izkazali kot v študiji podobnosti in nato z uporabo vektorjev. A Enake trikotniki, ki mejijo na straneh sliki, je možno dokazati z uporabo ne le lastnosti trikotnikov z enakimi višinami, izvedenih na stene, ki ležijo na premici, temveč tudi z naslednjo enačbo S = 1/2 (ab * sinα). Poleg tega, da je mogoče izdelati v sinusni izrek za popisano trapeza ali pravokotnega trikotnika in trapeza, opisane v t. D.

Uporaba "izvenšolskih" ima geometrijsko sliko v vsebino šolskega predmeta - tasking poučevanja tehnologije. Constant sklicevanje na študij lastnosti prehoda drugega omogoča študentom, da se naučijo trapez globlje in zagotavlja uspeh naloge. Torej, bomo nadaljevali preučevanje tega izjemnega sliki.

Elementi in lastnosti enakokrakega trapeza

Kot smo že omenili, v tem geometrijskega lika sta obe strani enako. Vendar je znano kot desni trapeza. In kaj je tako izjemen in zato dobila ime? Posebnosti tega zneska se nanaša, da ima ne le enake stranice in koti na dnu, ampak tudi diagonalno. Poleg tega je vsota kotov enakokrakega trapeza je enaka 360 stopinj. Ampak to še ni vse! Samo okoli se enakokrak lahko opišemo s krogom vseh znanih trapez. To je posledica dejstva, da je vsota nasprotnih kotov v tej sliki 180 stopinj, in samo v takem stanju je mogoče prikazati v kroga okrog štirikotnika. Naslednje lastnosti geometrijskega lika je, da je razdalja od vrha baze v projekciji nasprotnega vrhov na liniji, ki vsebuje ta baza bo enaka vzdolžne osi.

Zdaj pa si oglejmo, kako najti kotičke enakokrakega trapeza. Razmislite rešitev tega problema, pod pogojem, da je velikost strank znano sliko.

odločitev

To se običajno označuje četverokotnik črke A, B, C, D, kjer AP in BP - temelj. V enakokrakega trapeza so stranice enaka. Domnevamo, da je njihova velikost enaka X in dimenzije Y baze in Z (manjši in večji, v tem zaporedju). Za izračun kota potrebe, da preživijo v višini H. Rezultat je Pravokoten trikotnik ABN kjer AB - hipotenuza in BN in - noge. Izračunamo velikostjo nog: odšteje od večje osnovni minimalno, in rezultat se deli s 2. Izrazi formulo: (ZY) / 2 = F. Sedaj izračunati ostrim kotom funkcije cos rabo trikotnik. Dobimo naslednji vnos: cos (β) = X / F. Sedaj izračunamo kot: β = Arcos (X / F). Nadalje, vedoč en kotiček, lahko ugotovimo, in drugič, da bi to osnovno aritmetično operacijo: 180 - ß. Vsi koti so opredeljeni.

Obstaja tudi druga rešitev tega problema. Na je začetek izpuščena iz kota v višini noge N. izračuna vrednost BN. Vemo, da je kvadrat hipotenuze v pravokotnega trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh straneh. Dobimo: BN = √ (X2 F2). Nato bomo uporabili trigonometrične funkcije Tg. Rezultat je: β = arctg (BN / F). Ostri kot je dalo. Nato definiramo topi kot kot v prvem načinu.

Last diagonal enakokrakega trapeza

Najprej smo napisali štiri pravila. Če diagonale v enakokrakega trapeza pravokotne, potem:

- višina sliki je enako vsoti baz, deljeno z dva;

- njegova višina in srednja linija sta enaka;

- površina trapeza je enaka kvadratu višine (sredinsko črto na polovico baze);

- kvadrat diagonale kvadrata je enaka polovici vsote dvakratnim kvadratnih baz ali vzdolžne osi (višina).

Sedaj poglej formulo opredeljuje diagonalni enakostraničnega trapez. Ta podatek lahko razdelimo na štiri dele:

1. Formula diagonalno dolžino skozi bok.

Predpostavimo, da je A - spodnjo osnovo, B - top, C - enakih stranic, D - diagonalno. V tem primeru se lahko dolžina se določi na naslednji način:

D = √ (C2 + A x B).

2. Formula za diagonalne dolžine kosinusa.

Predpostavimo, da je A - spodnjo osnovo, B - top, C - enakih stranic, D - diagonalna, a (na spodnjem bazo) in beta (zgornja baza) - trapezoid vogalov. Dobimo naslednjo formulo, s katero je mogoče izračunati dolžino diagonale:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * cosα C *).

3. Formula diagonalno dolžino enakokrakega trapeza.

Predpostavimo, da je A - nižja lokaciji, B - zgornji, D - diagonala, M - srednja linija H - višina, P - površina trapeza, a in β - kot med diagonal. Določimo dolžino naslednjimi formulami:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2 M * N / sinα).

V tem primeru, enakost: sinα = sinβ.

4. formulo diagonalno dolžino skozi straneh in višino.

Predpostavimo, da je A - spodnjo osnovo, B - top, C - stranema, D - diagonalna, H - višina, α - kot s spodnjo bazo.

Določimo dolžino naslednjimi formulami:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + ctgα F *) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementi in lastnosti pravokotnega trapeza

Oglejmo si, kaj se zanima v tem geometrijskega lika. Kot smo že dejali, da imamo pravokotnega trapeza dveh pravih kotov.

Poleg klasične definicije, obstajajo še drugi. Na primer, pravokotnega trapeza - trapeza, v katerih ena stran je pravokotna na podlago. Ali oblike, ki ima na stranskih kotov. Pri tej vrsti višine trapez stranska ki je pravokotna na podlag. Srednji linija - segment, ki povezuje midpoints obeh straneh. Lastnost omenjenega elementa je, da je vzporedna z bazami in enaka polovici njihove vsote.

Sedaj pa upoštevati osnovne formule, ki določajo geometrijske oblike. Če želite to narediti, predpostavimo, da A in B - osnove; C (pravokotno na podlago) in D - stranice pravokotnega trapeza, M - srednji liniji, a - oster kot, P - območje.

1. stranico, pravokotno na podlagah, ki je enak višini (C = N), in enako dolžino drugi stranici A in sinus za kot a na večje baze (C = A * sinα). Poleg tega je enako zmnožku tangento akutnih kot a in razlike v bazah: C = (A-B) * tgα.

2. Stranska D (ne pravokotno na osnovo) enako količniku razliko A in B in kosinusa (a) ali pod ostrim kotom glede na zasebnem višino sliki H in sinusni ostri kot: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Stranska ki je pravokotna na podlagah, je enaka kvadratnemu korenu kvadrata razliki D - druga stran - in kvadratno osnovo razlike:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. Stranski Pravokotni trapeza je enaka kvadratnemu korenu kvadratno vsote kvadratno strani in C baz geometrijska oblika razlika: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. Stranska C je enako količniku kvadratni dvojno vsoto njegovih baz: C = P / P = 2P / (A + B).

6. površina definirana z M izdelka (središčnica pravokotnega trapeza) v višini ali stranski smeri pravokotno na podlag: P = M * N = M * C.

7. Položaj C je kvocient dvakratne kvadratne oblike s produktom nujen oster kot in vsoto njegovih baz: C = P / P * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formula stran pravokotnega trapeza s svojemu diagonali, in kot med njima:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

kjer D1 in D2 - diagonali trapeza; α in β - kot med njimi.

9. Formula strani pod kotom na spodnjo osnovo in drugi je: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Ker trapez s pravim kotom je poseben primer trapeza, druge formule, ki določajo te številke, se bo sestal in pravokotne oblike.

Nepremičnine Incircle

Če je pogoj, je dejal, da v pravokotnem trapeza vpisanih kroga, potem lahko uporabite naslednje lastnosti:

- znesek osnove je vsota obeh straneh;

- razdalja od vrha pravokotne oblike s točkami dotika s popisano kroga je vedno enaka;

- višina trapeza je enaka tisti strani, ki je pravokotna na podlagah, in je enaka premeru kroga ;

- krog središče je točka, na kateri se sekata bisectors kotov ;

- če je stranski steni točki stika razdeljen na dolžine n in m, potem je polmer kroga je enak kvadratnemu korenu produkta iz teh segmentov;

- četverokotnik tvorjen z stičnih točk, zgornji del trapeza in središče popisano kroga - to je kvadrat, katerega stran je enak polmeru;

- območje na sliki je produkt razloga in produkt razpolovnega vsoto osnov na njegove višine.

podobno trapez

Ta tema je zelo uporaben za preučevanje lastnosti geometrijskih likov. Na primer, diagonala razdeli v štiri trikotnike trapeza in so sosednji osnove podobno, ter ob straneh - z enako. Ta izjava se lahko imenuje last trikotnikov, ki je pokvarjen trapez diagonal. Prvi del te izjave je izkazala skozi znak podobnosti dveh vogalov. Da bi dokazali, drugi del pa je bolje uporabiti metodo, opisan v nadaljevanju.

dokaz

Sprejmi to sliko ABSD (AD in BC - temelj trapeza) je razčlenjeno diagonal HP in AC. Presečišče - O. smo dobili štiri trikotnike: AOC - na spodnjem dnu, Bos - zgornja base, Abo in SOD ob straneh. Trikotniki SOD in biofeedback imajo skupno višino v tem primeru, če so segmenti BO in OD njihove baze. Ugotovili smo, da je razlika med njunima območja (P), ki je enaka razliki teh segmentov: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Zato PSOD = PBOS / K. Podobno trikotniki Razno in biofeedback imajo skupno višino. Sprejeli za svoje osnovnih segmentov NS in OA. Dobimo PBOS / PAOB = CO / OA = K in PAOB = PBOS / K. Iz tega sledi, da PSOD = PAOB.

Za utrditev materialne študente spodbujamo, da bi našli povezavo med področji trikotnikov pridobljenih, ki je pokvarjen trapez diagonal, odločanje naslednjo nalogo. Znano je, da so trikotniki BOS in ADP območjih enaki, je potrebno najti ploščino trapeza. Ker PSOD = PAOB, nato PABSD PBOS + = PAOB + 2 * PSOD. Iz podobnosti trikotniki Bos ANM izhaja, da X / OG = √ (PBOS / PAOB). Zato PBOS / PSOD = X / OG = √ (PBOS / PAOB). Get PSOD = √ (* PBOS PAOB). Potem PABSD PBOS + = PAOB + 2 * √ (PAOB PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

lastnosti podobnost

Nadaljnjim razvojem to temo, je mogoče dokazati, in druge zanimive značilnosti trapezi. Torej, s pomočjo podobnosti lahko dokaže lastnine odsek, ki poteka skozi točko, ki jo tvori presečišče diagonal geometrijskega lika, vzporedno s tlemi. Za to rešiti naslednji problem: to je potrebno, da bi našli dolžine RK segment, ki poteka skozi točko O. Iz podobnosti trikotnikov ADP in SPU izhaja, da je AO / OS = AD / BS. Iz podobnosti trikotniki ADP in ASB izhaja AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). To pomeni, da je BS * PO = AD / (AD + BC). Podobno iz podobnosti trikotniki MLC in PRS izhaja, da je OK * BP = BS / (BP + bs). To pomeni, da OC in Rc = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Odsek poteka skozi sečišču diagonal vzporedno z osnovo in povezuje obe strani, se presečišče razpolovljeni. Njegova dolžina - je harmonična sredina številk razloga.

Razmislite o naslednjih značilnosti trapeza, ki se imenuje v lasti štirih točk. presečišče diagonal (D), pri čemer presek nadaljevanje stranic (E) kot tudi sredi baze (T in G) vedno ležijo na isti liniji. To je enostavno dokazati metodo podobnosti. Nastali trikotniki so podobni BES in AED in vključno z mediano ET in DLY delitvi temenski kot E v enakih delih. Zato, točka E, T in F so kolinearni. Podobno je v isti vrsti razporejena glede na T, O in G. To izhaja iz podobnosti trikotniki Bos ANM. Zato sklepamo, da so vsi štirje pogoji - E, T, O in F - bo ležijo na premici.

Uporaba podobne trapeze, se lahko ponudi za študente, da bi našli dolžino segmenta (LF), ki deli sliko na dva dela, kot je. Ta rez mora biti vzporedna z bazami. Ker je bilo prejeto trapeza ALFD LBSF in podobno, BS / LF = LF / AD. To pomeni, da LF = √ (BS * BP). Sklepamo, da je segment, ki je razdeljen v dva trapeza, kot je, z dolžino, ki je enaka aritmetična dolžine baz ugotoviti.

Razmislite o naslednji podobnosti nepremičnine. Temelji na segmentu, ki deli trapez na dva enaka kosov velikosti. Sprejmi ta trapezasto ABSD odsek razdeljen na dve podobni EH. Z vrha B zniža višina tega segmenta je razdeljen na dva dela En - B1 in B2. Pridobitev PABSD / 2 = (AP + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Nadalje sestavljajo sistem, kjer je enačba (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 in drugi (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Iz tega sledi, da B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) in BS + EH = ((AP + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Ugotavljamo, da je dolžina deljenjem trapez na dva enaka, enaka povprečni dolžin kvadratne baz: √ ((CN2 + aq2) / 2).

sklepi podobnosti

Tako smo dokazali, da:

1. Segment vezni sredino trapeza na bočnih stranicah, vzporedno z BP in BS in BS je aritmetično povprečje in BP (baza dolžina trapeza).

2. vrstica poteka skozi točko O presečišču diagonal vzporedno AD in BC bo enaka harmonična sredina števil BP in BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segment zlom v podobnem trapeza ima dolžino geometričnega povprečnega osnov BS in BP.

4. element, ki ločuje obliko v dve enako veliki, dolžina pomeni kvadratnih številke BP in BS.

Za utrditev materiala in zavest o povezanosti med segmenti študenta je treba graditi na določenem trapeza. On lahko enostavno prikaže povprečno linijo in segment, ki poteka skozi točko - presečišče diagonal številk - vzporedno s tlemi. Ampak, če bo tretji in četrti? Ta odgovor bo vodila študenta do odkritja neznanega razmerja med povprečnimi vrednostmi.

Segment pridružil midpoints diagonal trapeza

Razmislite naslednjo lastnost sliki. Mi sprejemamo, da je segment MN vzporedno baz in razdelimo na pol diagonalno. presečišče se imenuje W in S. Ta segment je enaka polovici razlike razloga je. Oglejmo si to podrobneje. MSH - povprečna linija trikotnika ABS je enaka BS / 2. Minigap - srednja linija trikotnika DBA je enaka AD / 2. Potem smo ugotovili, da SHSCH = minigap-MSH zato SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

Težišče

Oglejmo si, kako opredeliti element za dano geometrijskega lika. Če želite to narediti, morate razširiti bazo v nasprotnih smereh. Kaj to pomeni? Treba je dodati, da baza zgornje dno - za katero od strank, na primer, na desno. Nižja podaljša dolžino zgoraj levo. Nato priključite njihova diagonalno. Presečišče tega segmenta s sredinsko črto na sliki je težišče trapeza.

Vpisanih in opisane trapez

Seznam Naj ima te številke:

1. Line lahko vpisane v krogu le, če je enakokrak.

2. Okoli kroga lahko opišemo kot trapeza, pod pogojem, da je vsota dolžin njihovih baz vsota dolžin stranic.

Posledice popisano kroga:

1. višina trapeza opisano vedno enak dvakratnemu polmeru.

2. stran trapeza opisanega je gledano iz središča kroga pod pravim kotom.

Prva posledica je očitna, in dokazati, drugi pa je potrebno ugotoviti, da je kot SOD neposredno, to je, v resnici, prav tako ne bo enostavno. Toda poznavanje te nepremičnine vam omogoča, da uporabite pravi trikotnik za reševanje problemov.

Zdaj smo določiti posledice za enakokrakega trapeza, ki je vpisana v krogu. Dobimo da znaša višina se geometrične srednje slika baze: H = 2R = √ (BS * BP). Izpolnitev osnovne metode za reševanje problemov za trapez (načelo dveh višinah), mora študent rešiti naslednjo nalogo. Sprejmi, da BT - višina isosceles številke ABSD. Moraš najti odsekih AT in AP. Uporaba formule zgoraj, bo to opisan ni težko.

Zdaj nam razloži, kako določiti polmer kroga iz območja, navedenega trapez. Izpuščena iz zgornje višine B za osnovo BP. Ker je krog vpisane v trapeza, BS + 2AB = BP ali AB = (BS + BP) / 2. Iz trikotnika ABN za iskanje sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Pridobitev PABSD = (BP + BS) * R, izhaja, da je R = PABSD / (AD + BC).

.

Vse formule vzdolžne osi trapez

Zdaj je čas, da gredo na zadnjo točko tega geometrijskega lika. Bomo razumeli, kaj je srednja linija trapeza (M):

1. S baz: M = (A + B) / 2.

2. Po višine, osnove in kotih:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Z višino in diagonalno kota med njima. Na primer, D1 in D2 - diagonali trapeza; α, β - kot med njimi:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. V območju in višina: M = R / N.